Les intérêts composés sont capitalisés périodiquement, c’est-à-dire qu’ils s’ajoutent au capital pour produire eux-mêmes des intérêts. Contrairement aux intérêts simples, les intérêts sont capitalisés et produisent eux-mêmes des intérêts. Nous sommes donc ici dans une optique de long terme.
À la différence des intérêts simples, l’équivalence existe à n’importe quelle date.
Valeur acquise à intérêts composés
Vo = Valeur d’origine ; Vn= valeur acquise ; t = taux d’intérêt ; n = durée
Valeur actuelle à intérêts composés
Vo = Valeur d’origine ; Vn = valeur acquise ; t = taux d’intérêt ; n = durée
Montant des intérêts composés
Montant des intérêts = Valeur acquise – Capital de départ
Mode de calcul du taux d’intérêt réel :
Le taux d’intérêt réel (tr) est le taux d’intérêt qui tient compte du taux d’inflation.
tr: taux d’intérêt réel
m : taux d’inflation
t : taux nominal
Utilisation des logarithmes népériens
Exercices d’application corrigés sur les intérêts simples
Exercice 1 :
Un particulier âgé de 55 ans dispose de 50 000 € et souhaite placer cette somme à 6 % (taux annuel) pour avoir une retraite confortable. De quelle somme va-t-il disposer s’il place ce capital pendant 10 ans avec un taux annuel ? Recalculer cette somme avec un taux mensuel proportionnel.
Exercice 2 :
Monsieur Niette souhaite acheter une place de parking dans quelque temps et dispose de 10 000 €. Il a trouvé une annonce sur Internet qui indique que le prix est de 15 735.19 €. Son banquier lui propose un taux exceptionnel de 12 %. Il souhaite savoir au bout de combien de temps son capital va atteindre la valeur de la place de parking qu’il souhaite acquérir.
Exercice 3:
Monsieur Renard place un capital de 12 000 € à la banque pendant une année. Juste après cette année, il retire 5 000 €. La somme restante fait l’objet d’un placement pendant un an. La valeur acquise atteint après cette date une somme de 9 452.80 €. Retrouver le taux de placement annuel de ce capital.
Exercice 4:
Calculer de trois façons la valeur acquise d’un placement de 12 500 € placé pendant 6 ans et 6 mois, au taux de 6 %. Utiliser un taux mensuel équivalent pour la troisième méthode. Même question avec une durée de placement de 7 ans et 8 mois.
Un particulier place sur un compte bancaire les sommes suivantes, à intérêts composés, capitalisation mensuelle et taux proportionnel : 10 000 € le 01/01/N, 30 000 € le 01/03/N+1 et 20 000 € le 01/04/N+1. Il décide de retirer 40 000 € le 01/11/N+1. Le taux applicable est de 6 % annuel. Il souhaite connaître la somme dont il va disposer le 01/03/N+2. Recalculer la valeur acquise par le placement avec un taux qui passe de 6 % à 9 % à compter du 01/02/N+1.
Corrigés des exercices d’entraînement
Corrigé de l’exercice 1
50 000 * (1.06)^10 = 89 542.40 €
Taux mensuel proportionnel = (6 % / 12) = 0.005
50 000 * (1.005)^120 = 90 969.80 €
Corrigé de l’exercice 2
10 000 * (1.12)^n = 15 735.19
(1,12)^n = 15 735.19 / 10 000
(1,12)^n = 1.573519
ln (1,12)^n = ln 1.573519
n ln (1,12) = ln 1.573519
n = ln 1.573519 / ln 1.12
n = 4
Corrigé de l’exercice 3
((12 000 * (1 + t) – 5 000)*(1 + t)) = 9 452.80
Posons : (1 + t) = x
12 000 x² – 5 000 x – 9 452.80 = 0
Nous allons résoudre une équation du second degré en x de type :
ax² + bx + c
Delta : b² – 4ac
a = 12 000 ; b = – 5 000 ; c = – 9 452.80
Delta = (- 5 000)2 – 4 * (12 000 * – 9 452.8) = 478 734 400
Delta étant positif, il y a deux solutions :
X1 = (-(- 5 000) – √ 478 734 400)/2 * 12 000 = – 0.703333
X2 = (-(- 5 000) + √ 478 734 400)/2 * 12 000 = 1.12
Un taux ne pouvant être négatif, il faut retenir la seconde solution.
X2 = 1.12 = (1 + t) donc t = 12 %
Corrigé de l’exercice 4
12 500 * (1,06)^6,5 = 18 255.70
12 500 * (1,06)^6 *(1,06)^0,5 = 18 255.70
Taux mensuel équivalent = ((1,06)^(1/12) – 1) = 0.004868
12 500 * (1,004868)^78 = 18 255.70
12 500 * (1,06)^7,67 = 19 543.70
12 500 * (1,06)^7 *(1,06)^(8/12) = 19 539.90
12 500 * (1,004868)^92 = 19 540.70
Corrigé de l’exercice 5
Taux annuel : 6 % ; taux mensuel proportionnel : 6 % / 12 = 0.005
1) Valeur acquise au 01/03/N+2 (taux stable) :
((10 000 * (1.005)^22 + 30 000 * (1.005)^8 + 20 000 * (1.005)^7) – 40 000)* (1.005)^4 = 23 556.80 €
2) Valeur acquise au 01/03/N+2 (changement de taux) :
Taux annuel : 9 % ; taux mensuel proportionnel : 9 % / 12 = 0.0075
((10 000 * (1.005)^13 * (1.0075)^9 + 30 000 * (1.0075)^8 + 20 000 *(1.0075)^7) – 40 000) * (1.0075)^4 = 25 072.30 €
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